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【過渡現象】RL回路/RC回路の簡単な解き方-例題あり

勉強
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こんにちは!

 

今回は電気回路の授業で取り扱う、過渡現象についての記事です。

 

理系大学1年生におすすめ!

 

過渡現象を電気回路の授業で習うとき、積分をたくさん使ったり、定常解とか過渡解とか、訳分からん単語がでてきたりします。

そんなのいまいち分からないし、複雑で嫌になります。

 

今回は、そんなややこしいものを取っ払って、とにかく簡単に過渡現象のRL/RC回路の問題を解く方法をご紹介します。

 

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RL回路(例題1)

 

まずは、シンプルなR(抵抗)とL(コイル)の回路の場合。

定番なのが下のような回路の電流iを求めなさいという問題。

 

t=0のときスイッチを閉じることとします。

 

↑スイッチを閉じる前。

 

まず、電源、電流、回路定数をラプラス変換してs回路というものを作ります。

とりあえず、Eをsで割って、Rにはなにもせず、Lにはsをかけて電流iをI(s)にすると覚えてください。

こんな感じです。↑こちらがスイッチを閉じた後の回路。

過渡現象の問題を簡単に解くにはこのsという文字が入ったs回路図をつくります。

Eをsで割って、Rにはなにもせず、Lにはsをかけて電流iをI(s)にする。です。

 

ここからは普通の計算。

 

\[電圧=電流・(R+sL)\]

なので

\[\frac{E}{s}=I_{(s)}(R+{sL})\]

 

ここからI(s)を求めます。

 

\[I_{(s)}=\frac{E}{s}(\frac{1}{R+{sL}})=\frac{E}{s}・\frac{1}{L}(\frac{1}{\frac{R}{L}+s})\]

\[=\frac{E}{L}・(\frac{1}{s}・\frac{1}{\frac{R}{L}+s})\]

\[=\frac{E}{L}・\frac{L}{R}・(\frac{1}{s}-\frac{1}{\frac{R}{L}+s})\]

\[=\frac{E}{R}(\frac{1}{s}-\frac{1}{\frac{R}{L}+s})\]

 

I(s)が求まりました。

その際ラプラス逆変換の表に対応できるように式を変形します。

 

これをラプラス逆変換でI(s)ではなく小文字のiの式に直します。

 

ラプラス変換の対応表に従って変換してください。

ラプラス変換表とググれば分かりやすい表が出てきます。

 

Nof(t)F(s)
11
2eat

ラプラス変換対応表

 

\[\frac{1}{s}を1に変換し\frac{1}{s+\frac{R}{L}}をe^{-\frac{R}{L}t}に変換します。\]

\[I(s)はi(t)になります。\]

 

これでiが求まります。

\[i=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})\]

 

これが答え。

 

RC回路(例題2)

 

次はR(抵抗)とC(コンデンサ)の回路についてです。

電流iを求める問題。

 

↑スイッチを閉じる前の回路。

 

先ほどと同じくs回路にします。

Eをsで割って、Rにはなにもせず、電流をI(s)にします。

Cは1/sCとなります。

 

 

\[\frac{E}{s}=I_{(s)}(R+\frac{1}{sC})\]

 

\[I_{(s)}=\frac{E}{s}(\frac{1}{R+\frac{1}{sC}})=\frac{E}{R}(\frac{1}{s+\frac{1}{RC}})\]

 

ラプラス逆変換を使い、

Nof(t)F(s)
1eat

 

iが求まります。

 

\[i=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}\]

 

シンプルなRLやRC回路の場合こんな感じで簡単に問題を解くことができます。

 

 

例題3

 

次は、先ほどの2つの回路と違い、スイッチを閉じる前にすでに回路に電流が流れている場合。

 

このケースがテストにでてくると思います。

 

まず、↑この表を覚えてください。

 

抵抗Rはs回路でもそのまま普通の抵抗R。

インダクタンスLはsLになり、L×初期電流i(0-)を含みます。インダクタンスに最初から流れている電流のことです。

キャパシタンスCは1/sCになり、u(0-)/sの初期電圧を含みます。キャパシタンスの初期電圧です。プラスとマイナスの方向は電流の方向と逆になります。

 

今さっきやった2つの例題のときは、インダクタンスの初期電流、キャパシタンスの初期電圧が0だったのでこの要素はありませんでした。

 

 

次の例題は最初から電流が流れている問題です。

抵抗R2の電圧u(t)を求めよという問題。

 

 

まず、t<0でスイッチが閉じる状態の前の回路について。

直流の場合、コンデンサには電流は流れず、コイルには流れた電流がそのまま通ります。

まず、\[u_{c}(0-)とi_{L}(0-)\]の値を求めます

 

\[u_{c}(0-)=E・\frac{R_2}{R_1+R_2}\]

\[スイッチが閉じていないのでi_{L}(0-)=0\]

 

 

次にt>0でスイッチが閉じている状態の回路。

 

このような回路図になります。

テストではこのs回路図が書けるかどうか、uc(0-)とiL(0-)の初期条件をちゃんと計算できるかどうかが大事です。

\[\frac{u_{c}(0-)}{s}に先ほどのu_{c}(0-)=E・\frac{R_2}{R_1+R_2}\]

を代入

\[L・i_{L}(0-)はi_{L}(0-)=0なので0\]

 

これを求め終わったら、U(s)についての式をたてます。

 

\[U_{s}・(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{\frac{1}{sC}}+\frac{1}{sL})\]

\[=\frac{E}{s}・\frac{1}{R_1}+\frac{u_{c}(0)}{s}・sC\]

 

節点解析という方法を使い方程式をたてています。

ある節点を決めて(U(s)を求めるので節点はU(s)がある点。U(s)がある点とその右隣の点は電位が同じなので今回節点は2つ。)、

節点に接続する枝路のアドミタンスの総和=枝路から流れ込む電流の総和

という方程式をつくるものです。

 

節点解析と調べたら分かりやすい解説がでてきます。

 

Nodal Analysis introduction and example

日本語で節点解析について解説されている動画が見つからなかったのでこちらを参考までに貼っておきます。

図や数式を使って例題を解いています。

 

と、まあこれでU(s)をsの関数として求めることができます。

 

その次にこのU(s)をラプラス逆変換するとu(t)の値がわかります。

 

 

以上が過渡現象を簡単に解く方法です。

回路にスイッチが2つあるときにはこのやり方ではダメなのでご注意を。

 

 

以上、過渡現象の解き方についてでした。

 

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